July 24, 2024

Operasi Aritmatika Modular

1 min read

Operator (mod m) merupakan unary operator yang memetakan bilangan bulat ke dalam himpunan bilangan bulat {0, 1, 2, … , m -1}. Definisi mengenai operator (mod m), dapat dilihat pada Definisi 1.

Definisi 1

Misalkan a adalah sebuah bilangan bulat dan m adalah sebuah bilangan bulat positif. Notasi a  mod m  merupakan sisa dari pembagian a  oleh m.

Dengan perkataan lain  a  mod m  = r, dengan r adalah bilangan bulat memenuhi   a = qm + r  , 0 ≤ r ˂ m. Berdasarkan Definisi 1, berikut diberikan beberapa contoh perhitungan dengan menggunakan unary operator modulo.

  • 17    mod      5         =  2
  •  – 133  mod     9            =  2
  • 2001   mod  101  =  82

Definisi 2.

Jika a  dan  b adalah dua bilangan bulat, dan m adalah sebuah bilangan bulat positif, maka a  dikatakan kongruen modulo m dengan  jika (a – b) habis dibagi oleh m, ditulis a ≡ b (mod m)

Berdasarkan Definisi 2, berikut diberikan beberapa contoh kongruensi modulo.

  • 17  ≡ 5 (mod 6)  karena 17 – 5  = 12 habis dibagi 6
  • 21  ≡ – 9 (mod 10) karena 21 – (- 9) = 30 habis dibagi 10

Selanjutnya, aturan operasi aritmatika modular dapat dilihat pada Teorema 1.

Teorema 1

•   ((a mod m) + (b mod m)) mod m = (a + b) mod m

•   ((a mod m) – (b mod m)) mod m = (a b) mod m

•   ((a mod m)  x (b mod m)) mod m = (a x b) mod m

BerdasarkanTeorema 1, berikut diberikan beberapa contoh perhitungan operasi aritmatika modular.

 15 mod  8 = 7 dan 11 mod  8 = 3

(15 mod  8  –  11 mod 8) mod  8  = (7  – 3) mod  8  =  4 mod  8  =  4

(15 mod  8  –  11 mod 8) mod  8  = (15 – 11) mod  8  =  4 mod  8  =  4

((15 mod  8) x (11 mod  8)) mod  8  = (7×3) mod  8  =  21 mod  8  =  5

((15 mod  8) x (11 mod  8)) mod  8  = (15×11) mod  8  =  165 mod  8  =  5

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

Copyright © All rights reserved. | Newsphere by AF themes.